De points en courbes
(CRDP de Bourgogne, 1987)
Construction : trace une droite (D) et un cercle (C) centré en un point O de (D).
Soit L une longueur donnée.
On trace un segment de longueur L tel qu'une extrémité A de ce segment soit sur (D) et le milieu I du segment sur le cercle (C).
L'autre extrémité M du segment est sur la bielle de Bérard.
Lorsque A et I se déplacent respectivement sur (D) et (C), l'ensemble des points M est une bielle de Bérard.
Soit L une longueur donnée.
On trace un segment de longueur L tel qu'une extrémité A de ce segment soit sur (D) et le milieu I du segment sur le cercle (C).
L'autre extrémité M du segment est sur la bielle de Bérard.
Lorsque A et I se déplacent respectivement sur (D) et (C), l'ensemble des points M est une bielle de Bérard.
Construction : soient une droite (L), un point F n'appartenant pas à la droite (L) et soit O le projeté orthogonal de F sur (L). Trace une droite (D) passant par F coupant (L) en P.
Place sur la droite (D) les deux points M et M' tels que PM = PM' = PO. (Ce qui conduit à tracer le cercle de centre P de rayon PO coupant (D) en M et M'). En faisant pivoter (D) autour de F, on obtient tous les points d'une strophoïde droite privée du sommet de sa boucle).
Définition générale : soient deux courbes (C), (C') et un point O appelé pôle. Si une droite (D) quelconque passant par O coupe (C) en A et (C') en A', on place le point M tel que vecteur OM = vecteur AA'. Lorsque (D) pivote autour de O, l'ensemble des points M ainsi obtenus est une courbe appelée cissoïdale de (C) et (C') relativement au pôle O.
Cissoïde droite : Trace une droite (xx') et choisis un point O sur (xx'). Trace une droite (∆) parallèle à (xx'), distincte de (xx'). Trace une droite (D) passant par O coupant (∆) en A. Projette orthogonalement A sur (xx') en B, puis B sur (D) en M. Lorsque la droite (D) pivote autour de O, le point M décrit une cissoïde de Dioclès.
4) Hyperbole
Définition géométrique : soient deux points F et F' et une longueur notée 2a telle que 2a < FF'.
L'ensemble des points M du plan tels que I MF - MF' I = 2a est une hyperbole (H).
F et F' sont ses foyers et 2a est la distance du sommet A au sommet A'.
À partir de cette définition, si on introduit le cercle (C) de centre F et de rayon 2a (le cercle directeur), on peut faire apparaître l'hyperbole comme ensemble des centres des cercles tangents au cercle (C) et passant par le second foyer F', extérieur au cercle (C).
Définition géométrique : soient deux points F et F' et une longueur notée 2a telle que 2a > FF'.
L'ensemble des points M du plan tels que MF + MF' = 2a est une ellipse (E).
F et F' sont ses foyers et 2a est la longueur de son grand axe. (Le cercle est une ellipse particulière, obtenue lorsque les foyers F et F' sont confondus).
6) Parabole
Définition géométrique : soient une droite (∆) et un point F hors de (∆). L'ensemble des points M du plan équidistants de la droite (∆) et du point F est une parabole (P). (∆) est sa directrice et F est son foyer.
La parabole est donc l'ensemble des centres des cercles passant par le point fixe F et tangents à la droite fixe (∆).
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